Phương pháp hệ số bất định trong nguyên hàm

     

Bên cạnh phương pháp phân tích, hay phương thức đổi vươn lên là số thì pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định là 1 phương thức hay nhưng lại lại làm các em dễ dẫn đến nhầm lẫn khi sử dụng phương pháp này.

Bạn đang xem: Phương pháp hệ số bất định trong nguyên hàm


Phương pháp nguyên hàm từng phần được sử dụng để search tích phân bất định của những hàm tinh vi như hàm vừa chứa hàm lượng giác cùng hàm vô tỉ, tốt hàm vừa chứa đựng hàm vô tỉ với hàm logarit cơ số e, giỏi hàm mũ e. Trong bài viết này chúng ta sẽ cùng tò mò các dạng toán sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần.

I. Phương pháp tính tích phân cô động bằng phương pháp nguyên hàm từng phần

- giả dụ 2 hàm số u = u(x) với v = v(x) gồm đạo hàm và liên tiếp trên K thì:

*

- cách làm nguyên hàm từng phần viết gọn: 

*

II. Một trong những dạng toán tính tính phân bất định (tìm nguyên hàm) áp dụng nguyên hàm từng phần

Dạng 1:

*
 hoặc 
*
 hoặc 
*
 trong đó  là đa thức.

* Phương pháp: Đặt 

*
 
*
 hoặc 
*
 hoặc 
*

• Dạng 2: 

*
 hoặc 
*
 trong đó  là đa thức.

* Phương pháp: Đặt 

*
 hoặc 
*
*

Dạng 3: 

*
 hoặc
*
 trong đó 
*

* Phương pháp: Đặt 

*
 hoặc 
*
*

• xem xét khi áp dụng nguyên hàm từng phần:

- Ưu tiên đặt u là "nhất log, nhị đa, tam lượng, tứ mũ" phần còn sót lại đặt là dv.

Xem thêm: Cách Viết Đơn Xin Nghỉ Học Của Phụ Huynh, Đơn Xin Nghỉ Học (5 Mẫu)

- Đối cùng với nguyên hàm tất cả chứa lượng giác và mũ rất có thể đặt u và dv theo thứ tự lượng giác - mũ hoặc người lại hầu như được và nên sử dụng gấp đôi tích phân từng phần và buộc phải thống tuyệt nhất theo cùng thứ tự, còn nếu không sẽ xẩy ra trường hòa hợp đi vòng I = I.

- Số lần tiến hành tích phân từng phần dựa vào vào bậc của hàm logarit với đa thức ráng thể:

◊ nếu trong biểu thức tính nguyên hàm có 

*
 thì bắt buộc tính tính phân từng phần n lần.

◊ giả dụ trong biểu thức tích phân tất cả đa thức bậc n (không bao gồm hàm logarit) thì cũng đề nghị tính tích phân từng phần n lần.

 Ví dụ 1 (áp dụng Dạng 1): Dùng phương pháp nguyên hàm từng phần tính các nguyên hàm sau:

a) 

*

* Lời giải: Đặt 

*

- Theo cách làm nguyên hàm từng phần ta có:

*

 ⇔

*

b) 

*

* Lời giải: Đặt 

*

- Theo phương pháp nguyên hàm từng phần ta có:

 

*
 
*
 
*

c) 

*

* Lời giải: Đặt 

*

⇒ 

*
 
*

Với 

*
 ta vận dụng tiếp tích phân từng phần với 

 Đặt:

*

⇒ 

*
 
*

- Thay  vào  ta được kết quả: 

 

*
 
*

* nhấn xét: Ta thấy tích phân cất đa thức bậc 2 (x2) đề nghị ta yêu cầu tính tính phân từng phần 2 lần.

d) 

*

* Lời giải: Đặt

*

*
 
*

- cùng với

*
 ta thường xuyên áp dụng tích phân từng phần cho 

 Đặt:

*

*
*
 
*

- Thế  vào  ta được kết quả:

*
 
*

e) 

* Lời giải: Đối với vấn đề này ta phải hạ bậc lượng chất giác trước để lấy và dạng cơ bạn dạng áp dụng tích phân từng phần, ta có:

  

*
 
*
 
*

- Ta có: 

*
 áp dụng tích phân từng phần:

 Đặt: 

*

⇒ 

*
 
*
*

- Thế  vào  ta được kết quả: 

*
 

 Ví dụ 2 (áp dụng Dạng 2): Dùng phương nguyên hàm từng phần tính tích phân bất định của những nguyên hàm sau:

a)

*

* Lời giải: Đặt 

*

*
*

b)

*
 

* Lời giải: Đặt 

*

⇒ 

*
 
*

c)

* Lời giải:

- Ta có:  

*

- Đặt: 

*
*

⇒ 

*
 
*

d) 

* Lời giải:

- Ta có: 

*

- Đặt: 

*
*

*
 
*
*

 Ví dụ 3 (áp dụng dạng 3): search nguyên hàm của các hàm sau:

a) 

*

* Lời giải: Bài toán này sẽ áp dụng linh hoạt tích phân từng phần

- Đặt: 

*

⇒ 

*

- Áp dụng tích phân từng phần cho J

 Đặt: 

*

⇒ 

*

⇒ 

*

*

*
+C

b) 

*

* Lời giải:

- Ta có:

*
*
 
*
 
*

- áp dụng nguyên hàm từng phần với 

*
:

- Đặt: 

*
*

*
 
*

- vận dụng nguyên hàm từng phần với 

*

- Đặt: 

*

⇒ 

*
*

⇒ 

*
 
*

⇒ 

*

⇒ 

*

*
 
*
*

c) 

*

* Lời giải: bài xích này áp dụng cả phương pháp đổi biến hóa số và phương pháp nguyên hàm từng phần

- Đặt: 

*
 
*

- Đặt: 

*

- Ta có: 

*
*

- Thay 

*
 ta được: 
*

III. Bài bác tập kiếm tìm nguyên hàm sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần

Bài 4 trang 103 SGK giải tích 12: Sử dụng cách thức tính nguyên hàm từng phần, hãy tính